绪论作业（大学城校区）

题目与参考答案（含计算过程）

1. 有效数字与不确定度表达

原题：改正下列结果表达式的错误：（15分）

不确定度通常保留 1 位有效数字（首位为 1 或 2 时可保留 2 位），测量值末位与不确定度末位对齐。按此规则改写为：

原题：用级别为 0.5、量程为 10 mA 的电流表对某电路的电流作 10 次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。（要求判别和剔除异常数据）（30分）

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I / mA	9.55	9.56	9.50	9.53	9.60	9.40	9.57	9.62	9.59	9.56

全体 10 个数据的平均值与样本标准差为

\bar{I} = 9.548 mA， s = \sqrt{\frac{Σ {(I_{i} - \bar{I})}^{2}}{n - 1}} = 0.0623 mA。

第 6 次数据 9.40 mA 的偏差为 0.148 mA，约为 2.37s。按 n=10 的 Chauvenet 判据（临界约 1.96s），判定 9.40 mA 为异常值并剔除。剔除后其余数据的最大偏差为 0.0644 mA，仅 1.77s，均可保留。

\bar{I} = 9.5644 mA； s = 0.03644 mA； s_{\bar{I}} = \frac{s}{\sqrt{9}} = 0.01215 mA。

电流表的最大允许误差为 ΔI_仪 = 0.5% × 10 mA = 0.05 mA。若将仪器误差与平均值的随机标准不确定度合成：

u_{c} = \sqrt{{0.05}^{2} + {0.01215}^{2}} = 0.0515 mA ≈ 0.05 mA。

测量结果：I = (9.56 ± 0.05) mA（含仪器最大允许误差）。仅报告重复测量的随机标准差时：Ī = 9.564 ± 0.012 mA，s = 0.036 mA。

原题：用公式测量某圆柱体铝的密度，测得直径 d = 2.042 ± 0.003 cm，高 h = 4.126 ± 0.004 cm，质量 m = 36.488 ± 0.006 g。计算铝的密度和测量的标准差，并以测量结果表达式表示之。（15分）

圆柱体体积 V = πd²h/4，因此

ρ = \frac{m}{V} = \frac{4 m}{π d^{2} h} = 2.70035 {g·cm}^{- 3} 。

各输入量相互独立时，乘幂函数的相对标准不确定度为

{(\frac{u_{ρ}}{ρ})}^{2} = {(\frac{u_{m}}{m})}^{2} + {(\frac{2 u_{d}}{d})}^{2} + {(\frac{u_{h}}{h})}^{2} .

u_{ρ} = 2.70035 \times \sqrt{{(\frac{0.006}{36.488})}^{2} + {(\frac{2 \times 0.003}{2.042})}^{2} + {(\frac{0.004}{4.126})}^{2}} = 0.00837 {g·cm}^{- 3} .

测量结果：ρ = (2.700 ± 0.008) g·cm⁻³。

原题（公式按文档中的 MathType 对象转写）：根据公式 l = l₀(1 + αt) 测量某金属丝的线胀系数。l₀ 为金属丝在 0 ℃ 时的长度。实验测得温度与对应的金属丝长度的数据如下表所示。试用图解法求 l₀ 和 α 值。（20分）

t / ℃	23.3	32.0	41.0	53.0	62.0	71.0	87.0	99.0
l / mm	71.0	73.0	75.0	78.0	80.0	82.0	86.0	89.1

令纵轴为 l、横轴为 t，按最小二乘直线（图解作图所得直线应接近此结果）拟合：

l = k t + b = (0.23793 {mm·℃}^{- 1}) t + 65.3346 mm。

与 l = l₀ + (αl₀)t 对照，有 b = l₀，k = αl₀，所以

l_{0} = 65.33 mm； α = \frac{k}{b} = \frac{0.23793}{65.3346} = 3.642 \times 10^{- 3} ℃^{- 1} 。

图：l-t 数据散点与拟合直线（用于图解法的读数核对）

结果：l₀ ≈ 65.33 mm，α ≈ 3.64 × 10⁻³ ℃⁻¹。

原题（公式按文档中的 MathType 对象转写）：试根据下面 6 组测量数据，用最小二乘法求出热敏电阻值 R 随温度 t 变化的经验公式，并求出 R 与 t 的相关系数。（20分）

t / ℃	17.8	26.9	37.7	48.2	58.8	69.3
R / kΩ	3.554	3.687	3.827	3.969	4.105	4.246

取线性经验式 R = a + bt。由最小二乘法正规方程

b = \frac{n Σ tR - (Σ t)(Σ R)}{n Σ t^{2} - {(Σ t)}^{2}} ， a = \frac{Σ R - b Σ t}{n} 。

代入 n=6、Σt=258.7、ΣR=23.388、Σt²=13044.91、ΣtR=1033.647 得到

b = 0.013347 kΩ·℃⁻¹，　a = 3.32252 kΩ。

因此热敏电阻在该温区的线性经验公式为

R (t) = (3.3225 + 0.013347 t) kΩ。